1.2. Математическое моделирование в задачах оценки состояния здоровья.

Наличие значительного числа экологических рисков, несовершенство технических средств производства и другие факторы приводят к ухудшению

состояния здоровья людей, что побуждает исследователей искать пути снижения риска заболеваемости вызываемых экологическими факторами, включая работников агропромышленного комплекса (АПК).

Истории анализа и управления состояния сложными объектами принято считать, что наилучшие модели получают, если в них как можно более точно учитываются особенности объекта исследования [73, 79, 84, 89, 99, 103, 124, 125, 153].

Характерной особенностью экологических систем и систем управления здравоохранением является их иерархичность, что позволяет выделить три их важных свойства [114, 124, 151, 152, 153]:

- каждый уровень иерархии имеет свой собственный язык, свою систему концепций или принципов;

- на каждом уровне иерархии происходит обобщение свойств объектов более низкого уровня;

- взаимосвязи между уровнями не симметричны (для нормального функционирования более высших уровней требуется нормальное функционирование элементов низшего уровня, но не наоборот.

С классификационной точки зрения выделяют эмпирические и функциональные модели.

В эмпирических моделях осуществляется описание исследуемого объекта, а функциональные - ориентированы на объяснение поведения моделей основываясь на эмпирических моделях.

В другой классификации модели систем делят на статические, динамические и стохастические [41, 89].

Статические модели отличаются тем, что в них допускают независимость их поведения от времени.

Динамические модели учитывают изменения состояния системы в зависимости от времени. Часто составной частью динамической модели являются статистические модели. Вместе эти два класса моделей объединяют понятием детерминистских моделей, главной особенностью которых является то, что получаемые прогнозы и диагнозы выражаются конкретным понятием (числом), тогда как в стахостических моделях используют понятия распределения вероятностей и их параметров.

В стахостических моделях оперируют случайными переменными задаваемыми с помощью соответствующим законов распределения.

Построение математических моделей носит непростой, многоэтапный характер. В работе [90] выделяются следующие этапы построения математических моделей:

На первом этапе анализируется состояние проблемы, определяются цели и задачи исследования.

На втором этапе определяется система информативных признаков, описывающих состояния объекта, факторы внешней среды, строится структура объекта исследования.

На третьем этапе с использованием методов разведочного анализа выбираются адекватные математические модели, которые могут быть описаны алгебраическими уравнениями или неравенствами, четкими или нечеткими продукционными правилами, целевой функцией, уравнениями связей и др.

При построении формальных математических моделей разработчики выделяют три основные ситуации:

- можно построить уравнения описывающие поведение объекта, а следовательно можно определять реакцию объекта исследования на заданный входной сигнал;

- при известной математической модели объекта и известной реакции (выходному) сигналу необходимо найти соответствующий входной сигнал;

- математическое описание объекта неизвестно, но имеются или могут быть заданы совокупность входных и соответствующих им выходных сигналов.

В силу сложности и динамичности исследуемых в работе объектов (человек в контакте с окружающей средой) возникает именно третья ситуация, которая может быть реализована с помощью различных подходов [4, 5, 8, 41, 44, 51, 58, 84, 95, 99, 210, 211].

Следует так же учитывать и то, что для получения параметров достаточно сложных аналитических моделей необходимо проводить машинное моделирование для которого составляются таблицы экспериментальных данных, на основе которых решаются задачи интерпретации, аппроксимации и экстраполяции [58, 124].

Интерполяция - приближенное или точное нахождение какой - либо величины по известным отдельным значениям этой же или других величин, связанных с ней.

Аппроксимация - замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным.

Экстраполяция - продолжение функции за пределы ее области определения, при котором продолженная функция принадлежит заданному классу.

Прогнозная экстраполяция строится на основе математического анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта, его физики и абсолютных пределов.

Одной из основных задач решаемых в работе является прогнозирование состояния здоровья при воздействии на организм человека разнородных экзогенных и эндогенных факторов. Для решения этого класса задач чаще всего используются статистические методы анализа и прогнозирования временных рядов, которые реализуются специализированными пакетами прикладных программ (VAR, STATISTICA, ARCH, «Мезозавр», «Олимп», SAS и др.).

В ходе исследования временных рядов изучается динамика оцениваемых показателей во времени. Рассмотрим ряд основных определений и аналитических соотношений используемых при анализе временных (динамических) рядов [17, 38, 43, 159].

Временным рядом (time series) называют последовательность значений статистических показателей (признаков) упорядоченных в хронологическом порядке.

Каждый ряд динамики содержит два элемента: значения времени и соответствующие им значения признаков (уровней) ряда. В зависимости от характера представления шкалы времени ряды делятся моментальные и интервальные.

В моментальных рядах динамики уровни характеризуют значения показателя по состоянию на определенные моменты времени, и в интервальных рядах - за определенные интервалы (периоды) времени.

Уровни рядов динамики могут определяться как абсолютные, относительные и средние значения. Известны задачи, когда уровни ряда получают некоторым расчетом, когда их называют производными.

При решении задач прогнозирования традиционно используют такие показатели как средний уровень, абсолютные приросты, темпы роста, темпы прироста.

Средний уровень определяют по формуле среднего арифметического. При оценке интервальных рядов с переменным интервалом времени средний уровень определяют, как взвешенную среднюю арифметическую, а весовые коэффициенты определяют через продолжительность интервалов времени между уровнями.

Абсолютный прирост вычисляют по разности двух сравниваемых уровней. Средний абсолютный прирост - скорость изменения исследуемого показателя. Темп роста определяют как отношение двух сравниваемых уровней ряда. Средний темп роста характеризует интенсивность изменений уровня роста. Темп прироста характеризует абсолютный прирост в относительных величинах.

Приведенные показатели могут быть трех видов: средние, базисные и цепные [38].

В таблице 1.1 приведены аналитические соотношения для вычисления основных показателей динамики.

Таблица 1.1.

Основные показатели временных рядов

В этой таблице у - текущий уровень ряда динамики; t = 1, 2,...n; y₆- уровень временного ряда, принятый за базу сравнения; n- число уровней или динамика ряда.

При анализе сложных систем, включая биообъекты, контактирующие с окружающей средой временные ряды усложняются содержанием трендов, циклических и случайных компонентов, которые могут суммироваться (аддитивный процесс), перемножаться (мультипликативный процесс) и иметь комбинированный характер.

Эти составляющие анализируют, используя различные методы, например, перепады анализируют с использованием аналитического выравнивания, а циклические процессы обнаруживают с помощью Фурье преобразований.

При синтезе прогностических моделей часто принимают гипотезу сохранения основных тенденций предыстории некоторого времени в будущем.

В ряде практических задач целесообразно полагать, что информация о последних периодах наблюдения важнее, чем информация о более поздних периодах. Ценность информации на разных интервалах наблюдений определяется с помощью адаптивных методов, которые «приспосабливают» весовые коэффициенты моделей для различных прогностических уровней значимости.

В задачах со сложной структурой динамических процессов на первом этапе исследований целесообразно выделять различные, более простые составляющие, рассматриваемые как стационарные (эргодичные) временные ряды.

В таком варианте для прогнозирования могут быть использованы модели скользящего среднего и авторегрессионные модели [38, 159].

Авторегрессионные (АР) модели строятся в предположении о том, что каждое новое значение ряда находится в линейной зависимости от предыдущих значений, например в соответствии с выражением:

где n- порядок модели; ε_t- случайная составляющая.

Задача обучения АР моделей состоит в поиске настраиваемых параметров α₁,...,α_nобеспечивающих минимум ошибки прогнозирования на шаге t при известных уровнях предыдущих значений ряда динамики.

В моделях скользящего среднего предполагают, что информация о предыстории временного ряда сосредоточена в ошибках модели за предшествующие периоды времени.

Известны прогностические модели в которые включены составляющие авторегрессионных моделей и модели скользящих средних.

Приведенные выше модели и другие подобные им характеризуются тем, что для построения адекватных моделей рассматриваемые временные ряды должны обладать определенными свойствами, например должны быть стационарны, поддаваться определенным закономерностям развития, имеющим «подходящее» статистическое описание, обладать известной структурой и т.д.

Популярным математическим аппаратом позволяющим оценить влияние многих переменных x₁, x₂.. x_nна функцию цели (отклика) у являются регрессионные модели линейного (1.2) и нелинейного, например квадратичного (1.3) видов [159]:

Задача обучения таких моделей заключается в поиске настраиваемых параметровобеспечивающих как можно более

точную аппроксимацию многомерными поверхностями типа (1.2), (1.3) и др. экспериментальных данных. Алгоритмы поиска этих параметров хорошо отработаны и реализованы многочисленными пакетами прикладных программ, например SPSS [38].

Если в качестве одной из переменных модели выбрать параметр времени, то функция отклика кроме других параметров, будет зависеть от времени и её можно будет использовать для решения задач прогнозирования, однако исследуемый в нашей работе класс задач отличается настолько большим «разбросом» параметров внутри одного класса, нечетким и неточным представлением исходных данных с нечетким представлением о функциях отклика, что не позволяет строить адекватные регрессионные модели [64, 65, 88, 90].