Обзор математических методов прогнозирования, особенности использования нечеткой логики принятия решений при мочекаменной болезни

В настоящее время насчитываются сотни математических методов, нашедших успешное применение в медицинских исследованиях [1, 2, 3, 9, 11, 13, 14, 16, 19, 20, 21, 25, 31, 33, 36, 42, 43, 44, 45, 46, 49, 52, 55, 60, 64, 68, 69, 74, 80, 81, 86, 88, 91, 98, 102, 106, 108, 115, 119, 130, 132, 137, 138, 146, 147, 160, 168, 169, 170, 171, 172, 173, 177, 178].

Как показано в первом разделе, прогнозирование возникновения МКБ и её ре­цидивов сложно и мало результативно. В основном при прогнозировании МКБ ис­пользуют результаты исследования биохимического анализа мочи, структуры кам­ня.

Для этого также нужно получить химический состав мочи, представить хими­ческие реакции в организме в алгебраической форме, разработать систему уравне­ний для расчета равновесного состава мочи.

Однако результаты такого моделирования не учитывают другие факторы камнеобразования в организме человека и технически трудновыполнимы. А от вы­бора конкретных методов прогнозирования зависит результат моделирования, адек­ватность синтезированной модели реальному процессу.

Насчитываются сотни методов прогнозирования, имеющие свои достоинства и недостатки. В зависимости от степени однородности их возможно разделить на про­стые (однородные по содержанию) и комплексные методы. По характеру использу­емой информации все методы, также возможно разделить на фактографические (ос­новываются на фактической информации о развитии прогнозируемого объекта), экспертные (методы, основанные на обобщении мнений экспертов о поведении объ­екта) и комбинированные методы [1, 19, 32, 34, 37, 45, 102, 103, 106, 107, 132].

Экспертные методы уступают по точности прогнозирования, но являются предпочтительными при неопределенности в исходной информации.

Использование экспертных методов прогнозирования предпочтительно при отсутствии статистических данных, либо, когда статистическая информация имеет­ся, но существуют сомнения в её достоверности, не поддается прогнозу группа фак­торов, влияющих на развитие прогнозируемого процесса, когда часть информации о прогнозируемом объекте не поддается количественному измерению, а также, если получение статистической информации требует значительных ресурсных или фи­нансовых затрат.

К наиболее широко распространенным методам прогнозирования количе­ственных показателей сложных систем возможно отнести [9, 31]:

1. Экспоненциальное сглаживание, используемое для краткосрочных, а также среднесрочных прогнозов. Данный метод отличается простотой, ясностью математических формулировок, а также при использовании данного метода объем данных не имеет значения. К недостаткам метода необходимо отне­сти отсутствие гибкости, а также требуемая тонкая настройка сглаживаю­щих функций, что само по себе является достаточно сложной задачей;

2. Регрессионные методы, используемые для среднесрочного прогнозирова­ния. Достоинствами данного метода является простота, а также быстрота получения результата. Однако, данный метод обладает низкой адаптивно­стью линейных моделей и сложностью определения вида функциональной зависимости, также невозможностью произвести моделирование нелиней­ных процессов.

3. Авторегрессионные методы используются в среднесрочном прогнозирова­нии. К достоинствам данного метода возможно отнести простоту реализа­ции, однако он обладает низкими адаптационными свойствами, линейно­стью. При использовании данного метода невозможно моделировать нели­нейные процессы. Затруднения использования вызывает также большое

число параметров модели, идентификация которых неоднозначна и ресур­соемка.

4. Нейросетевые методы обладают возможностью моделирования нелиней­ных процессов, высокими адаптационными свойствами, а также масштаби­руемостью. К недостаткам можно причислить отсутствие гибкости, слож­ность выбора архитектуры нейронной сети, высокие требования к непроти­воречивости обучающей выборки, невозможность добавления нейронов в процессе самообучения нейронной сети, неясность в выборе числа слоев и элементов в слое, а также и ресурсоемкость процесса обучения;

5.

6. Прогнозирование по аналогии применяется для установления качественной и количественной аналогии с целью изучения опыта, результатов и т.п. при краткосрочном и среднесрочном прогнозировании. Данный метод отлича­ется лингвистической простотой реализации, а также резким ухудшением результатов в случае нелинейности. Имеется вероятность возникновения ситуации, когда отсутствует аналог;

7. Комбинированные методы применяются для любого срока прогнозирова­ния и определяются методами, входящими в состав комбинированной си­стемы.

Реальные системы обладают значительной сложностью, что делает невозмож­ным учесть влияние некоторых факторов, а также не всегда возможно получить точные результаты измерений, что приводит к появлению некоторой степени не­определенности. Становится целесообразным использование аппарата теории не­

четких множеств, таких как методы нечеткого регрессионного и авторегрессионного анализа, нечеткого нейросетевого анализа и анализа нечетких тенденций.

Нечеткая логика является обобщением классической формальной логики и теории множеств и была предложена Л. Заде для приближенного и нечеткого описа­ния процессов и систем [36, 37, 51, 56, 57, 98, 107, 128, 129, 130, 137, 138, 146, 160, 177, 178, 194, 195, 202, 203].

В качестве элементов нечеткого множества А выступают некоторые числовые переменные х и характеристические функции μ.∖(X), характеризующие в интервале [0,1] степень принадлежности (соответствия) х нечеткому множеству А. В совре­менной литературе функцию ц_А(х) называют функцией принадлежности х к А.

Функции принадлежности выражаются либо числами в интервале [0,1], либо в виде лингвистических переменных [37, 130, 146].

Существенное отличие методов теории нечеткой логики, как отмечают специ­алисты в области нечеткой логики и системного анализа, от методов теории вероят­ности состоит в том, что неопределенность связана не со случайностью, а с имею­щимися неточностями и размытостями, и функция принадлежности при этом выра­жает субъективную возможность наличия у элемента х свойств, позволяющих отне­сти его к множеству А [130, 146].

Как и для обычных множеств, для нечетких множеств определены основные логические операции, такие как объединение и пересечение, рассматриваемые как обобщение обычных множеств [37, 107, 108, 146].

Существуют различные виды форм кривых для задания функций принадлеж­ности. Наиболее популярными являются: треугольная, трапецеидальная и гауссова формы кривых для функций принадлежности [129, 146].

Функции принадлежности составляют основу построения нечетких правил ло­гического вывода. Операции нечеткого логического вывода определяются сводом

правил, содержащих нечеткие высказывания в форме «Если - то» и функции при­надлежности для соответствующих лингвистических термов.

Базовое правило типа «если - то» называется нечеткой импликацией (продук­цией), принимающей форму [107, 128, 129, 146, 177, 178, 194, 195]:

ЕСЛИ (х это А) ТО (у это В), (1.1)

где: А и В - это лингвистические выражения, идентифицированные нечетким обра­зом через соответствующие функции принадлежности для переменных х и у.

Важной задачей теории нечетких множеств в прикладных областях является построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации и анализ их семантик.

При реализации нечеткого логического вывода могут решаться задачи оценки уровня подготовленности спортсменов, состояния их здоровья и т.д.

В ходе логического вывода для конкретных значений вектора Х=Х_о определя­ется конкретное значение У₀.

В общем виде алгоритм логического вывода реализуется за четыре основных шага [128, 175, 176, 192, 193].

1. Для четко заданных входных значений Х_о определяются значения функ­ций принадлежности к отдельным термам. Эта операция вводит нечет-кость в реше­ние (операция фаззификации).

2. Для каждого правила выполняют операцию импликации для конкретных

значений(определяют минимальное значение функций принадлежности, вхо­дящих в предпосылку правилаДалее объединяются результат

объединения функций принадлежности предпосылки с функцией принадлежности заключения

3. Выполняется нечеткая композиция путем объединения всех результирую­щих функций принадлежности

По максимальной величине результирующей функции принадлежности можно делать выводы о предпочтительной классификации состояния объекта исследова­ния.

4. При необходимости преобразовать выходную функцию принадлежности Цо(у) в четкое число Уо производится операция приведения к четкости (дефаззифи- кация). На практике используют различные методы дефаззи-фикации. Наиболее распространена дефаззификация центроидного типа, когда Уо определяется на оси У как координата «центра тяжести» фигуры μ₀(γ).

В общем виде при центроидной дефаззификации вычисление z₀осуществляет­ся по формуле:

В силу вычислительной сложности на практике формула (1.5) заменяется на формулы приблизительного суммирования.

Кроме центроидного метода при определении Уо используют: координату начала максимального участка функции принадлежности, координату конца макси-

22 мального участка функции принадлежности, координату «центра» максимального участка функции принадлежности и т.д.

Описанный алгоритм логического вывода в специальной литературе называют алгоритмом Мамдани-Заде [129, 177, 178].

Алгоритм Такаги-Сугено-Канага реализуется аналогично алгоритму Мамдани- Заде, но без четвертого пункта, а величина У_о определяется выражением [129, 194, 195]:

где: q_s- результат нечеткой импликации (пункт 2 алгоритмов Мамдани-Заде и Та­каги-Сугено-Канага); а₈ - константы заключения правила (1.5).

Специалисты решающие практические задачи использования нечеткой логики Л. Заде при оценке состояния сложных систем отмечают, что при достаточно мощных математических возможностях возникают значительные сложности полу­чения нечетких многомерных моделей адекватных реальным объектам исследова­ния. Нетривиальными задачами являются как выбор форм и параметров первичных функций принадлежности, так и способы их агрегации в модели, адекватно опи­сывающие состояния исследуемых объектов [51, 56, 57, 129, 137, 160].

Специально для медицинских приложений Е. Шортлифом была разра-ботана теория уверенностей основной целью, которой было моделирование клинической логики принятия решений, в соответствии с которой последо-вательно поступающая информация приводит к уточнению исследуемых гипотез ω_s, [130, 160, 189].

Одной из базовых формул Е. Шортлифа является выражение для расчета ко­эффициента уверенности в гипотезе - КУ(ю_е/Х), который определяется как раз­

ность между двумя мерами где:- уверенность в диагностической гипотезе ω_eс учетом наличия при-

знака(ов) Х;

МД( ω_f,/ Х) - мера доверия к ω_f, с учетом признаков Х;

МНД( ω_s,/ Х) - мера недоверия к гипотезе ω_tс учетом признаков Х.

Коэффициент уверенности (КУ) меняется от -1 - абсолютная ложь, до +1 - аб­солютная истина, принимая все промежуточные значения, причем 0 - означает пол­ное незнание [51, 129, 160, 189].

Значения МД (мера доверия) и МНД (мера недоверия) меняются от 0 до 1. В связи с этим, КУ представляет собой меру взвешивания свидетельств «за» и «про­тив» [51, 129, 160, 189].

При поступлении новой информации (новое свидетельство х) значения МД и МНД меняются, поэтому для уточнения значений МД и МНД применяют формулы:

Запятая между Х и х указывает на то, что значение информативного признака х поступает для анализа после поступления и анализа вектора признаков Х.

Суть данных формул заключается в том, что эффект нового значения инфор­мативного признака х за гипотезу ω_s,при уже известных признаках Х сказывается на смещении МД или МНД в сторону полной определенности на расстояние, зави­сящее от нового информативного признака [129, 160, 189].

Если в принятии классификационных решений участвуют только признаки, анализ которых увеличивает доверие гипотезе ω_f,, выражение (1.7) трансформиру­ется в решающее правило типа:

где р - номер итерации при расчете КУ ω_f,(р); Z_s- базовая переменная, по которой строятся диагностические или прогностические заключения.

В частном случаеВ комбинированном варианте, где совместно исполь­

зуются функции принадлежности и коэффициенты уверенности выражения (1.10) трансформируются в выражение [51, 56, 57]:

Природа нечетких временных рядов (ВР) обусловлена использованием экс­пертных оценок, присущая неопределенность которых относится к классу нечетко­сти. В отличие от стохастической неопределенности нечеткость затрудняет или да­же исключает применение статистических методов и моделей, но может быть ис­пользована для принятия предметно-ориентированных решений на основе прибли­женных рассуждений человека. Формализация интеллектуальных операций, моде­лирующих нечеткие высказывания человека о состоянии и поведении сложных яв­лений, образует сегодня самостоятельное направление научно-прикладных исследо­ваний, получившее название «нечеткое моделирование». Указанное направление включает комплекс задач, методология решения которых опирается на теорию не­четких множеств, нечеткой логики, нечетких моделей (систем) и гранулярных вы­числений [9].

При прогнозировании BP неопределенность поведения моделируется в рамках стохастических моделей на основе представления BP, как реализации случайного процесса. Однако неопределенность поведения в организационно-технических си­стемах не всегда может быть адекватно смоделирована методами теории случайно­сти, если [9]:

1. Неизвестны вероятностные характеристики стохастического процесса, гене­рирующего BP;

2. Имеется неопределенность и неполнота в исходной информации о функци­онировании системы;

3. Нелинейный характер искомой зависимости;

4. Малое количество наблюдений.

В этом случае находят применение интеллектуальные методы анализа BP, ак­тивно использующие знания экспертов.

При анализе BP эксперт обычно представляет свои суждения с помощью не­четких оценок, относящихся ко многим объектам [9]:

• временные области: интервалы времени (несколько дней), абсолютная или относительная позиция на временной шкале (близкое будущее), периодические или сезонные интервалы (неделя до Рождества);

• ранг значений BP (высокая цена, очень низкий уровень производства);

• набор паттернов BP (быстро растущий, слегка выпуклый);

• набор BP, их атрибутов, как элементов системы (фондовый индекс новой компании);

• набор отношений между BP, атрибутами или элементами (тесно связанный);

• множество значений возможности или вероятности (непохоже, очень воз­можно).

Упорядоченная во времени последовательность таких оценок представляет собой временной ряд, характерной особенностью которого является нечеткость его значений, вытекающая из природы экспертных оценок, поэтому такой временной ряд относится к классу нечетких временных рядов [ 9].

На рис. 1.1 изображен абстрактный нечеткий временной ряд, каждой нечеткой метке x_iсоответствует нечеткое множество, задаваемое функцией принадлежности

Рисунок. 1.1 - Абстрактный нечеткий временной ряд

Прикладной аспект проблематики анализа нечетких временных рядов опреде­ляется возможностью расширения множества задач обработки BP, множества тех­нологий их решения за счет оперирования не только количественной, но и каче­ственной информацией [9].

Проанализировав достоинства и недостатки существующих методов классиче­ского и нечеткого прогнозирования мы пришли к выводу, что наиболее адекватным математическим аппаратом для решаемых в работе задач является методология син­теза гибридных нечетких решающих правил, разработанная на кафедре биомедицин-

ской инженерии ЮЗГУ [51, 56, 57, 62, 63, 74, 77], опирающаяся на методы разве­дочного анализа [1, 2, 3, 4, 81], нечеткую логику Л. Заде [36, 37, 202, 203], нечеткие модификации метода группового учета аргументов [68, 77] и теории измерения ла­тентных переменных [59, 75, 76, 141, 143, 145].

Теоретические основы и примеры успешного использования методологии синтеза гибридных нечетких решающих правил в задачах медицинской диагностики и прогнозирования сходных по структуре данных с задачами решаемыми в диссер­тационной работе приведены в работах [11, 14, 21, 42, 49, 55, 60, 64, 69, 70, 71, 88, 91, 92, 108, 115, 119, 140, 142, 143, 144, 145, 147, 151, 152, 170, 171, 172, 173].

Успешное применение элементов методологии синтеза гибридных нечетких решающих правил в урологии описано в работах [38, 39, 40, 41, 78, 79, 122, 125, 134].

В этих же работах показано, что кроме традиционно используемых в меди­цине признаков для повышения качества принимаемых решений целесообразно ис­пользовать энергетические характеристики биологически активных точек (БАТ). Теория биофизики акупунктуры, способы синтеза нечетких решающих правил и примеры успешного применения БАТ в медицине представлены в работах [50, 53, 54, 58, 65, 66, 72, 73, 149, 150, 152, 153, 154, 155].

На кафедре биомедицинской инженерии разработаны математические методы при мочекаменной болезни (Коцарь А.Г., Стародубцева Л.В., Цуканова М.Н.) [78, 79, 124, 133], но следует отметить, что в работах Коцаря А.Г. [78, 79] сообщается о математических методах прогнозирования результатов лечения МКБ разными спо­собами, разработанные прогностические признаки МКБ и схемы профилактики многочисленны, не всегда применение их можно адекватно оценить их наличие у конкретного больного и многие признаки требуют пересмотра. Математические мо­дели, синтезированные М.Н. Цукановой, предназначены для прогнозирования ре­зультативности литокинетической терапии у больных с сахарным диабетом [133]. В этих работах мало внимания уделено разработкам математических моделей для про­гнозирования возникновения и рецидива мочекаменной болезни. Но, исходя из при­веденного обзора математических методов, используемых для решения задач про­

гнозирования и медицинской диагностики можно сделать вывод о том, что совре­менная математическая теория дает в руки разработчиков мощный и разнообразный аппарат, позволяющий решать задачи практически любой сложности при грамотном и адекватном его использовании.

1.3.